La faktorizácia algebraického výrazu Je to postup, ktorým sa daný výraz zapíše ako násobenie jednoduchších faktorov. Inými slovami, pri faktorizácii polynómov, cieľom je nájsť výrazy, ktoré po vynásobení povedú k rovnakému algebraickému vyjadreniu pôvodu.
Tento proces je v algebre nanajvýš dôležitý, pretože umožňuje zjednodušiť rovnice a urobiť ich oveľa lepšie spravovateľnými. Okrem toho je jedným z najdôležitejších cieľov pri faktorizácii polynómu reprezentovať ho ako súčin iných polynómov nižšieho stupňa.
Pre lepšie pochopenie tohto konceptu si uveďme základný príklad:
Algebraický výraz: x(x + y)
Vynásobením podmienok tohto výrazu dostaneme:
x2 +xy
Touto cestou: x(x + y) = x2 +xy
La faktoringu Je to užitočné nielen preto, že zjednodušuje riešenie problémov, ale aj preto, že umožňuje identifikovať vlastnosti a vzťahy medzi členmi algebraického výrazu.
Spoločný faktor
Predtým, ako začnete s faktorizačnými technikami, je nevyhnutné pochopiť, čo tento pojem znamená. spoločný faktor. Hľadaním spoločného činiteľa v rámci polynómu sa snažíme identifikovať výraz, ktorý sa opakuje vo všetkých výrazoch výrazu, čo nám umožňuje zjednodušiť ho.
Je však dôležité poznamenať, že faktoring nie je vždy možný. Aby bolo možné faktorizovať, musí existovať aspoň jeden spoločný termín, s ktorým sa dá pracovať. Inak sa to nedá ďalej zjednodušovať.
Napríklad vo výraze:
xa + yb + zc
Tam nie sú žiadne spoločný faktor medzi členmi, takže faktorizáciu nemožno vykonať.
Pozrime sa na ďalší prípad, keď je to možné:
a2x + a2y
Spoločným faktorom tu je a2. Pre jednoduchosť rozdeľujeme oba pojmy týmto spoločným faktorom:
- a2x sa delí a2, čo dáva x
- a2y sa delí a2, čo dáva a
Nakoniec, faktorizovaný výraz je:
a2(x+y)
Použitie spoločného faktora pri faktorizácii polynómov
V mnohých prípadoch budú mať niektoré členy polynómu a spoločný faktor, zatiaľ čo iní nie. V týchto scenároch by sa malo urobiť a zoskupenie termínov, takže zoskupené výrazy majú spoločný faktor.
Napríklad vo výraze:
xa + ya + xb + yb
Termíny môžeme zoskupiť rôznymi spôsobmi:
(xa + ya) + (xb + yb)
Ak analyzujeme zoskupené výrazy, môžeme v každej skupine pozorovať spoločný faktor:
a(x + y) + b(x + y)
Nakoniec môžeme výraz rozdeliť takto:
(x + y) (a + b)
Táto technika sa nazýva „zoskupovanie faktorizácie“ a umožňuje vám zjednodušiť polynómy, aj keď nie všetky pojmy majú rovnaký spoločný faktor. Treba si uvedomiť, že existuje viacero spôsobov zoskupovania a výsledok bude vždy rovnaký. Napríklad v tom istom prípade by sme mohli výrazy zoskupiť takto:
(xa + xb) + (ya + yb)
Čo opäť vedie k:
x(a + b) + y(a + b)
Nakoniec dostaneme rovnaký výsledok:
(a + b) (x + y)
Tento proces podporuje komutatívny zákon, ktorý uvádza, že poradie faktorov nemení konečný produkt.
Pokročilé metódy: Faktoring pomocou významných produktov
Existujú aj iné metódy faktorizácie polynómov, medzi ktoré patrí napr pozoruhodné produkty. Najbežnejšie pozoruhodné produkty sú dokonalý štvorcový trojčlen a trojčlenka tvaru x2 + b x + c. Existujú aj iné pozoruhodné produkty, ale zvyčajne sa používajú skôr na binomické.
Dokonalý štvorcový trojuholník
Un dokonalý štvorcový trojčlen Je to polynóm zložený z troch členov, ktorý je výsledkom kvadratúry binomu. Pravidlo hovorí, že proces má túto štruktúru: druhá mocnina prvého členu plus dvojnásobok prvého členu krát druhý člen plus druhá mocnina druhého členu.
Na určenie dokonalého štvorcového trojčlenu postupujte podľa týchto krokov:
- Extrahujeme druhú odmocninu prvého a tretieho člena.
- Korene oddeľujeme znamienkom, ktoré zodpovedá druhému členu.
- Dvojčlenku, ktorá vznikne, odmocníme.
Pozrime sa na príklad:
4a2 – 12ab + 9b2
- druhá odmocnina zo 4a2: 2
- druhá odmocnina z 9b2: 3b
Trojčlenka sa počíta takto:
(2a – 3b)2
Trinomiál formy x2 + b x + c
Tento typ trinomu má špecifické vlastnosti, ktoré umožňujú jeho jednoduchšie súčinenie. Aby bola trojčlenka tohto tvaru rozkladná, musí spĺňať nasledujúce kritériá:
- Koeficient prvého funkčného obdobia musí byť 1.
- Prvý člen musí byť premenná na druhú.
- Druhý člen má rovnakú premennú, ale nie je odmocnený (má exponent 1).
- Koeficient druhého členu môže byť kladný alebo záporný.
- Tretí výraz je číslo, ktoré priamo nesúvisí s predchádzajúcimi.
Príkladom takejto faktorizácie môže byť nasledujúca trojčlenka:
x2 +9x +14
Ak to chcete zohľadniť, postupujte podľa tohto postupu:
- Trojčlenku rozložíme na dve dvojčlenky.
- Prvý člen každého dvojčlenu je druhá odmocnina prvého člena trojčlenu (v tomto prípade „x“).
- Znamienka dvojčlenov sa priraďujú podľa druhej a tretej veličiny trojčlenky (v tomto prípade kladné).
- Hľadáme dve čísla, ktoré po vynásobení dajú 14 a po sčítaní 9 (možnosti sú 7 a 2).
Týmto spôsobom súčiniteľná trojčlenka je:
(x+7) (x+2)
Ďalšie metódy: Faktorová veta a Ruffiniho pravidlo
El faktorová veta hovorí, že polynóm je deliteľný polynómom v tvare (x – a), ak pri vyhodnotení pôvodného polynómu pre x = a je výsledok 0. Táto veta je užitočná na hľadanie koreňov polynómov a uľahčuje faktorizáciu. Často sa používa v kombinácii s Ruffiniho pravidlo, zjednodušená metóda na vykonávanie delenia polynómom.
Tieto nástroje sú užitočné najmä pri práci s polynómami 3. alebo vyššieho stupňa, kde nie je možné použiť jednoduché metódy, ako je dokonalý štvorcový trojčlen alebo pozoruhodné súčiny.
Nakoniec je dôležité poznamenať, že nie všetky polynómy sa dajú ľahko faktorizovať. V niektorých prípadoch je na nájdenie koreňov polynómu potrebné uchýliť sa k pokročilejším metódam alebo numerickým technikám. Väčšinu príkladov nájdených v základnej algebre však možno vyriešiť pomocou týchto nástrojov.
Faktoring je mocný nástroj v algebre, pretože vám umožňuje zjednodušiť zložité výrazy a efektívnejšie riešiť rovnice. Osvojením si rôznych metód faktorizácie polynómov môžeme použiť rýchlejšie a efektívnejšie riešenia na širokú škálu problémov.